PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – BİNOM

PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – BİNOM


I. PERMÜTASYON

A. SAYMANIN TEMEL KURALI

1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.



B. FAKTÖRİYEL

1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.

0! = 1 olarak tanımlanır.

1! = 1

2! = 1 . 2

.................

.................

.................

n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) . n

Ü n! = n . (n – 1)!

Ü (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)! dir.

Ü n . n! = (n + 1)! – n!



C. TANIM

r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.

n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,





Ü 1) P(n, n) = n!

2) P(n, 1) = n

3) P(n, n – 1) = n! dir.



D. TEKRARLI PERMÜTASYON

n tane nesnenin; n₁ tanesi 1. çeşitten, n₂ tanesi 2. çeşitten, ... , n_r tanesi de r yinci çeşitten olsun.

olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,



E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON

n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.

n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :



II. KOMBİNASYON

TANIM

r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.

n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı








Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:





Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;

a) Çizilebilecek doğru sayısı

b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan tane üçgen çizilebilir.

Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok farklı

noktada kesişirler.

Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.

Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan tane paralelkenar oluşur.

Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim

noktası vardır.



III. BİNOM AÇILIMI

A. TANIM

n Î IN olmak üzere,



ifadesine binom açılımı denir.

Burada;



sayılarına binomun kat sayıları denir.



ifadelerinin her birine terim denir.

ifadesinde kat sayı, x^{n – 1} ve y^r ye de terimin çarpanları denir.


B. (x + y)ⁿ AÇILIMININ ÖZELİKLERİ

1) (x + y)ⁿ açılımında (n + 1) tane terim vardır.

2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir.

3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)ⁿ nin katsayılarının toplamı (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ dir.

4) (x + y)ⁿ ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;

baştan (r + 1). terim :

sondan (r + 1). terim :



Ü n Î N⁺ olmak üzere,

(x + y)²ⁿ nin açılımında ortanca terim





Ü n Î IN⁺ olmak üzere,

açılımındaki sabit terim,



ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.



Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)ⁿ açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır.



Ü (a + b + c)ⁿ nin açılımında a^k . b^r . c^m li terimin kat sayısı;