ORAN – ORANTI
A. ORANa ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,
ye a nın b ye oranı denir.
• Oranlanan çokluklardan ikisi aynı anda sıfır olamaz.
• Oranın payı ya da paydası sıfır olabilir.
• Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür olmalıdır.
• Oranın sonucu birimsizdir. |
B. ORANTIEn az iki oranın eşitliğine
orantı denir. Yani
oranı ile
nin eşitliği olan
ye orantı denir. Bu orantı a : c = b : d biçiminde de gösterilebilir.
ise, a ile d ye dışlar, b ile c ye içler
denir. |
C. ORANTININ ÖZELİKLERİ3) m ile n den en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,
ise, (k ya orantı sabiti denir.)
4) a : b : c = x : y : z ise,
Burada, a = x . k
b = y . k
c = z . k dır.
D. ORANTI ÇEŞİTLERİ1. Doğru Orantılı ÇokluklarOrantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk
doğru orantılıdır denir.
x ile y çoklukları doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k . x ifadesine
doğru orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir. (x > 0 ve y > 0)
• İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru orantılıdır.
• Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır. |
2. Ters Orantılı ÇokluklarOrantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk
ters orantılıdır denir.
x ile y çoklukları ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere,
ifadesine ters orantının denklemi denir. (x > 0 ve y > 0)
Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.
• İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır.
• Bir aracın belli bir yolu aldığı zaman ile aracın hızı ters orantılıdır. |
a, b ile doğru c ile ters orantılı ve k pozitif bir orantı sabiti olmak üzere, |
E. ARİTMETİK ORTALAMAn tane sayının aritmetik ortalaması bu n tane sayının toplamının n ye bölümüdür.
Buna göre, x
1, x
2, x
3, ... , x
n sayılarının aritmetik ortalaması,
• a ile b nin aritmetik ortalaması
• a, b, c biçimindeki üç sayının aritmetik ortalaması,
• n tane sayının aritmetik ortalaması x olsun.
Bu n tane sayının herbiri; A ile çarpılır, B ilave edilirse oluşan yeni sayıların aritmetik ortalaması Ax + B olur.
F. GEOMETRİK ORTALAMAn tane sayının geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür.
Buna göre,
x
1, x
2, x
3, ... , x
n sayılarının geometrik ortalaması
• a ile b nin geometrik ortalaması
(orta orantılısı) • a, b, c biçimindeki üç sayının geometrik ortalaması,
• a ile b nin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ise a = b dir.
G. HARMONİK (AHENKLİ)
ORTAx
1, x
2, x
3, ... , x
n sayılarının harmonik ortalaması
• a ile b nin harmonik ortalaması
• a, b, c gibi üç sayının harmonik ortalaması
•
İki pozitif sayının aritmetik ortalaması A, geometrik ortalaması G ve harmonik ortalaması H ise,
I) G
2 = A . H dır.
II) H
£ G
£ A dır.
H. DÖRDÜNCÜ ORANTILI orantısını sağlayan x sayısına a, b, c sayıları ile dördüncü orantılı olan sayı denir.