İKİNCİ ve ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER
A. TANIMa, b, c gerçel sayı ve a
¹ 0 olmak üzere, ax
2 + bx + c = 0
biçimindeki her açık önermeye
ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına
denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin
çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere
denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin
kat sayıları denir.
B. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU1. Çarpanlara Ayırma Yöntemiax
2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0
biçiminde yazılabiliyorsa
f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;
Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.
2. Diskiriminant (
D) Yöntemi
ax
2 + bx + c = 0 denklemi a
¹ 0 ve
D = b
2 – 4ac ise, çözüm kümesi
ax2 + bx + c = 0
denkleminde, D = b2 – 4ac olsun.
a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.
Bu kökleri, 
b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.
c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.
Bu kökler, 
Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir. |
ax
2 + bx + c = 0
denkleminin kökleri simetrik ise,
1) b = 0 ve a
¹ 0 dır.
2) Simetrik kökleri gerçel ise,
b = 0, a
¹ 0 ve a . c
£ 0 dır.
C. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILARax
2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x
1 ve x
2 ise,
D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASIKökleri x
1 ve x
2 olan ikinci dereceden denklem;
(x – x
1) (x – x
2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur.
Ü ax
2 + bx + c = 0 ... (1) denkleminin kökleri x
1 ve x
2 olsun.
Kökleri mx
1 + n ve mx
2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine
yazılarak bulunur.
Ü ax
2 + bx + c = 0 ve dx
2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,
Ü ax
2 + bx + c = 0 ve dx
2 + ex + f = 0
denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,
ax
2 + bx + c = dx
2 + ex + f
(a – d)x
2 + (b – e)x + c – f = 0 dır.
Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.
ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLERA. TANIMa
¹ 0 olmak üzere, ax
3 + bx
2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.
B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILARa
¹ 0 ve ax
3 + bx
2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x
1, x
2 ve x
3 olsun. Buna göre,
C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASIKökleri x
1, x
2 ve x
3 olan üçüncü derece denklem
(x – x
1) (x – x
2) (x – x
3) = 0 dır.
Bu denklem düzenlenirse,
x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0 olur.
Ü ax
3 + bx
2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x
1, x
2, x
3 olsun.
1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa, x
1 + x
3 = 2x
2 dir.
2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,
3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa, x
1 = x
2 = x
3 tür.
Ü n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere, a
nx
n + a
n – 1x
n–1 + ... + a
1x + a
0 = 0
denkleminin;
Kökleri toplamı :
Kökleri çarpımı :
Anasayfa 
] 
Konu: İKİNCİ ve ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER 