FONKSİYON
A. TANIMA
¹ Æ ve B
¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir
b bağıntısı verilmiş olsun. A nın
her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
" x
Î A ve y
Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A
® B ya da x
® f(x) = y biçiminde gösterilir.
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.
* Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
* Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
* s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
I) A dan B ye n
m tane fonksiyon tanımlanabilir.
II) B den A ya m
n tane fonksiyon tanımlanabilir.
III) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2
m . n – n
m dir.
* Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEMf ve g birer fonksiyon olsun. f : A
® IR
g : B
® IR
olmak üzere,
I) f ± g: A
Ç B
® IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
II) f . g: A
Ç B
® IR
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
III) C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ1. Bire Bir FonksiyonBir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
"x
1, x
2 Î A için, f(x
1) = f(x
2) iken
x
1 = x
2 ise f fonksiyonu bire birdir.
* s(A) = m ve s(B) = n (n
³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
2. Örten FonksiyonGörüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara
örten fonksiyon denir.
* f : A
® B
f(A) = B ise, f örtendir.
* s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.
3. İçine FonksiyonÖrten olmayan fonksiyona
içine fonksiyon denir.
* İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
* s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı m
m – m! dir.
4. Birim (Etkisiz)
FonksiyonHer elemanı kendisine eşleyen fonksiyona
birim fonksiyon denir.
f : IR
® IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
* Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona
sabit fonksiyon denir.
*
"x
Î A ve c
Î B için
f : A
® B
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
* s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
6. Çift ve Tek Fonksiyonf : IR
® IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu
çift fonksiyondur.f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu
tek fonksiyondur.* Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
* Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
D. EŞİT FONKSİYONf : A
® B
g : A
® B
"x
Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYONUf : A
® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f
fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A
® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
biçiminde gösterilir.
F. TERS FONKSİYONf fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f
– 1 de fonksiyondur.
* Uygun koşullarda, f(a) = b * f
– 1(b) = a dır.
* f : IR
® IR, f(x) = ax + b ise,
*
* (f
– 1)
– 1 = f dir.
* (f
– 1(x))
– 1 ¹ f(x) tir.
*> y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f
– 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
* B
Ì IR olmak üzere,
f(x) = ax
2 + bx + c ise,
* B
Ì IR olmak üzere,
f(x) = ax
2 + bx + c ise,
G. BİLEŞKE FONKSİYON1. Tanımf : A
® B
g : B
® C
olmak üzere, gof : A
® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
(gof)(x) = g[f(x)] tir.
2. Bileşke Fonksiyonun ÖzelikleriI) Bileşke işleminin
değişme özeliği yoktur. fog
¹ gof
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Fakat bu, bileşke işleminin değişme özeliği olmadığını değiştirmez. |
II) Bileşke işleminin
birleşme özeliği vardır. fo(goh) = (fog)oh = fogoh
III) foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.
IV) fof
– 1 = f
– 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f
– 1 dir.
V) (fog)
– 1 = g
– 1of
– 1 dir.