BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME


A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,




bölme işleminde,


• A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.

• A = B . C + K dır.

• Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)

• Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda K ile A değişmez.

• K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.



B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.



2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.



3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

• ... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.



4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.



5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı a_na_n-1 ... a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

k Î Z olmak üzere,

(a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) + ... = 7k

olmalıdır.



Ü Birler basamağı a₀, onlar basamağı a₁, yüzler basamağı a₂, ... olan sayının (...a₅a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının) 7 ile bölümünden kalan

(a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) + ...

işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.



6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.



Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının (...abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.



7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.



8. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.



9. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı a_na_{n–1 ...} a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için



(a₀ + a₂ + a₄ + ...) – (a₁ + a₃ + a₅ + ...)... = 11 . k

ve k Î Z olmalıdır.



Ü (n + 1) basamaklı a_na_{n–1 ...} a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 11 ile bölümünden kalan

(a₀ + a₂ + a₄ + ...) – (a₁ + a₃ + a₅ + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.







C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K₁, K₂ uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K₁ ve

B nin C ile bölümünden kalan K₂ olsun.


Buna göre,

• A . B nin C ile bölümünden kalan K₁ . K₂ dir.

• A ± B nin C ile bölümünden kalan K₁ ± K₂ dir.

• D . A nın C ile bölümünden kalan D . K₁ dir.

• A^E nin C ile bölümünden kalan K₁^E dir.

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.



D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

Ü 144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.

Ü 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.



E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = a^m . bⁿ . c^k olsun.



• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.

• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:

(m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam sayı bölenidir.

• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.

• A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı:





• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.

• A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı

– (a + b + c) dir.

• A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:





• A sayısınının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: